La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.

3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.

La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorias. 

Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc.

Teoría de conjuntos

Es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor di su primer tratamiento formal en el siglo XIX , concepto de conjunto es uno de las más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explica, los principios y terminologías de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.
 

Definiciones

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos de S presenta que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S. o lo que es el mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a e S o a S. Esto es a no pertenece a S.

Un conjunto se representa frecuentemente con el símbolo S = | | , en donde las llaves engloban los elementos de S, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, a dando una formula , regla o proposición que los describa.

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos.

Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:
 

1. Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada. 
   Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto. 
   Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso. 
   Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.

Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.
Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.

Colecciones: Clases y Conjuntos

Como se mencionó anteriormente, una colección está determinada por una propiedad P formulada en un lenguaje preciso. Una clase es una colección, cuyos objetos son los objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad P que caracteriza a la colección. 
 

Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teoría de Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.

Proposición. 
La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x no pertenece a x", no es un conjunto.

Prueba. 
Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle R. Entonces:
 

1. Si R no pertenece a R, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R pertenece a R.

2. Si R pertenece a R, entonces R no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R no pertenece a R.
    

Así pues, hemos mostrado que: si R no pertenece a R, entonces R pertenece a R; y si R pertenece a R, entonces R no pertenece a R. Pero como R pertenece a R o R no pertenece a R, entonces necesariamente se cumple que R pertenece a R y que R no pertenece a R, lo cual es absurdo.

En conclusión, no es posible que dicha clase sea un conjunto.

Si una clase no es un conjunto le llamaremos clase no conjunto o clase propia, y no es un objeto de estudio de la Teoría de Conjuntos. Por lo anterior, la clase de todos los objetos x tales que x no pertenece a x, es una clase propia. Y se le conoce a dicha proposición como la Paradoja de Russell.

El Conjunto Universo Local.

En la Teoría de Conjuntos, se tiene como referencia, explícita o implícitamente, un universo local; es decir, un marco de referencia dentro del cual se trabaja.

Este universo local o del discurso debe de ser un conjunto, quedando muy claro este concepto, ya que no se le debe confundir con la colección de todos los conjuntos, que es una colección que no es un conjunto, sino una clase propia; por lo tanto, aunque no existe el conjunto de todos los conjuntos, si existirá en casi cada caso particular, un conjunto que tenga a todos los conjuntos de interés del discurso.
 

1. Axioma de Separación o de Comprehensión. 
   Si A es un conjunto cualquiera y P es una propiedad acerca de conjuntos, la colección de elementos de A que tienen la propiedad P, es un conjunto. 
   
   Más precisamente, para toda propiedad P formulada en el lenguaje de la Teoría de Conjuntos lo siguiente es cierto: 
   
   Para todo conjunto A, existe un conjunto B cuyos elementos son exactamente los elementos z de A tales que z cumple la propiedad P.
    

Teorema. 
Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece. 

Prueba. Sea A un conjunto cualquiera. Sea D el conjunto de las y que pertenecen al conjunto A, tales que cumplen la propiedad "y no pertenece a y". 

De lo anterior, por el axioma de separación, se sigue que D es un conjunto y que es subconjunto de A. 
Se afirma que D no pertenece al conjunto A, pues suponiendo que D pertenece al conjunto A entonces se tiene que:
 

1. Si D no pertenece a D, entonces D pertenece a D, por cumplir la propiedad que caracteriza a D y por la suposición de que D pertenece al conjunto A.

2. Si D pertenece a D, entonces D cumple la propiedad, por lo tanto, D no pertenece a D.
    

Las dos conclusiones anteriores juntas, implican que D pertenece a D y que D no pertenece a D, y esto es absurdo. 

Por lo tanto, se tiene que D no pertenece al conjunto A. Así pues, dado cualquier conjunto A, hay un conjunto D tal que D no pertenece al conjunto A. 

Corolario. Ningún conjunto puede tener como elementos suyos, a todos los conjuntos.

Subconjuntos y superconjuntos

Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S. R es un subconjunto de S y S es un superconjunto de R. Utilizando símbolos, R S o S R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de si mismo. Si R S. Y al menos un elemento S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S y S es un superconjunto propio de R. lo que se representa con lo siguientes símbolos: R S. S R. Si R S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S . En los ejemplos anterior . S1 es un subconjunto propio de S2 .
 

OPERACIÓN DE CONJUNTOS

Unión: Dados don conjuntos cualesquiera A y B llamamos "unión" de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
 

Simbólicamente:

A U B = { x : x € A v x€ B}
 

Intersección:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos "intersección" de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a Y y pertenecen a B.
 

Simbólicamente:

A – B = {x: x€ A ^ x€ B}
 

Diferencia:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos "diferencia" de A "menos" B al conjunto formado por los elementos que pertenece a A y no pertenecen a B.
 

Simbólicamente:

A-B = {x: x€ A ^ x€ B}
 

Complemento:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B con BA ( B subconjunto de A) llamamos "complemento de B respecto de A" al conjunto de elemento que pertenece a A y no a B. esto es lo que le falta a B para ser igual a A.

Producto Cartesiano:

Para definir el producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B primero definiremos a lo que es un par ordenado.

Par ordenado:

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos donde nos interesa el orden en que estos aparezcan, esto es posee un primer elemento y un segundo elemento. Se representan con paréntesis y a los elementos se les denominara componentes (a,b) representa el par ordenado cuya primer componente es a y su segundo componente es b.

Debemos observar que para que dos pares ordenados sean iguales sus componentes deben serlo:

(a,b) = (c,d) si y solo si a=c y b=d.

Habiendo definido lo que es un par ordenado podemos decir que: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componentes pertenece a A y cuyo segundo componente pertenece a B.

AXB {(a,b)/ a€ A y b€ B}
 

MULTIPLICACION DE CONJUNTOS

Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a,b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A*B.
 

CORRESPONEDENCIA ENTRE CONJUNTOS

Los elementos del conjunto A = {1,2,3} se puede relacionar, emparejar o hacer corresponder con los elementos del conjunto B = {x,y,z} de distintas maneras, de forma que a todos los elementos de B le corresponden uno de A, a todos los elementos de A le corresponde un elemento de B, elementos distintos de un conjunto están emparejados con elementos distintos del otro.
 

DIAGRAMA DE VENN

A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de valide lógica.
 

PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS
 

Conmutativas

A U B = B U A A B = B A

 

Asociativas

(A U B) U C = (A B) C =

A U (B U C) A (B C)

A U (B C) = A (B U C)=
 

Distributivas

(A U B) (A U ( A B) U ( A C )
 

Neutros

A E = A A U O = A
 

Propiedades Negativas

A U Ae = E A A = O
 

Idemponentes

A U A = A A A = A
 

Absorbentes

A U E = E A O = O
 

Doble negacion (DN)

(Ae)e = A
 

Leyes de morgan
(LM) (A U B)e = A (A B)e = Ae U

Be Be
 

Simplificativas

A U (A B) = A (A U B ) =

A A

​

​

Ejercicios:

​

1. {2, 4, 6} es un conjunto.

Los elementos que forman este conjunto son: 2, 4, 6 

​

2.¿Cuántos elementos hay en el conjunto {manzana, pastel, durazno}?

3 elementos

​

3. A= {1, 2, 3} B = {2, 3, 4}

¿4 es un elemento de A? No

¿4 es un elemento de B? Si

 

4. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces 7 ∉ U,

¿Se podría extraer A= {1, 2, 3, 7} de este universo? No

​¿Se podría extraer B = {2, 5 ,6}? Si