Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad. 

Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:

P(x) = x es menor que dos

Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.

En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.

 

Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente: 

 

 

 

 

que se lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es menor que dos” 

 

Mientras que :

​

​

​

​

se lee: “para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es menor que dos” 


El símbolo          ​(para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo          (existe al menos un…) se denomina cuantificador existencial. 

​

Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad. 

Los cuantificadores más utilizados son entonces:

 

CUANTIFICADOR UNIVERSAL           (para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

​

​

​

​

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL         ​

(existe al menos un…): se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

​

​

​

​

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO           (existe un único…): se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada.

​
 

​

​

Ejercicios:

​

1) Simbolizar mediante cuantificadores:

a) Existe un número entero mayor a todos los otros.
b) Todas las personas aman.
c) Hay músicos excelentes y mediocres.
d) El producto de dos números reales cualesquiera es siempre nulo.
e) Si hay autos nacionales, no habrá importados.
f) Algunos aviones navegan y no vuelan.

Y aquí he llegado a:

a) ∃x∈Z/x>∞∃x∈Z/x>∞
b) ∀x:P(x)∀x:P(x)
c) ∃x/P(x)∃x/P(x)
d) ∀x∈R:2.x=0∀x∈R:2.x=0
e) ∀x:P(x)∀x:P(x)
f) ∃x/P(x)∃x/P(x)
 

 2)Anteponer los cuantificadores correspondientes en las siguientes funciones proposicionales, para que cada una resulte verdadera (x representa un número real):

a) x2−25=(x−5).(x+5)x2−25=(x−5).(x+5)
b) x2+4=0x2+4=0
c) x+2>xx+2>x
d) 2.x+5<152.x+5<15

Llegué a las siguientes respuestas:

a) P(x):x2−25=(x−5).(x+5)P(x):x2−25=(x−5).(x+5)
    ∀x∈R:x2−25=(x−5).(x+5)∀x∈R:x2−25=(x−5).(x+5)

b) P(x):x2+4=0P(x):x2+4=0
    ∀x∈R:x2+4±0∀x∈R:x2+4±0 (¿Está bien que mueva el cero a la ecuación como suma/resta? Porque de lo contrario esa ecuación nunca podría dar).

c) P(x):x+2>xP(x):x+2>x
    ∀x∈R:x+2>x∀x∈R:x+2>x

d) P(x):2.x+5<15P(x):2.x+5<15
    ∃x∈R/2.x+5<15∃x∈R/2.x+5<15 (¿Aquí debería aclarar que x debe ser ≤4≤4?)

​