Planteamos las siguientes preguntas:
 

¿Es posible que una conjunción sea verdadera si alguna de las proposiciones que la forman es falsa?

¿Bajo qué condiciones de las proposiciones inmersas en una conjunción, esta podrá ser falsa?
 

Para dar luz acerca de estas preguntas, va la:
 

Definición 1.3.1 Una conjunción es verdadera cuando y solo cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas.

Análogas preguntas podrían plantearse respecto de la disyunción y de la negación. Para esto:
 

Definición 1.3.2 Una disyunción es verdadera, cuando y solo cuando, alguna de las proposiciones que la forman es verdadera.

Definición 1.3.3 Una negación es verdadera si y solo si la proposición negada es falsa.

Ahora bien, ¿Qué pasa con la implicación?

Veamos las siguientes proposiciones:
 

“Si dos es par, entonces 3 + 2 es impar”.

“Siempre que dos es par, 3 + 2 es impar”.

“No ocurre  que: dos sea par y 3 + 2 no sea impar”.
 

Intuitivamente podemos aceptar que las tres proposiciones dicen lo mismo, es decir, estamos aceptando que:

“Una implicación es la negación de una conjunción”.

Así que una implicación es verdadera si tal conjunción es falsa; pero tal conjunción está constituida por el antecedente y la negación del consecuente de la implicación; así que la conjunción será falsa si el antecedente es falso o el consecuente es verdadero.

Definición 1.3.4 Una implicación es verdadera en cualquiera de los dos casos siguientes:

1. El consecuente es verdadero

2. El antecedente es falso
    

Observando estas condiciones, vemos que la única posibilidad que no se incluye es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Una manera de recordar esta conclusión es usando la siguiente afirmación:

“Nunca una verdad implica una falsedad”.

En lo que sigue adoptaremos formas simbólicas para las proposiciones.

Así las letras p, q, r, s, t,….., simbolizaran proposiciones, y nuestros tipos de proposiciones se simbolizaran:

1. p˄q     conjunción de las proposiciones p y q.

2. p˅q     disyunción de las proposiciones p y q

3. ¬q       negación de la proposición q.

4. P →q  implicación con antecedente p y consecuente q.

Ahora, si tenemos una proposición en forma simbólica, trataremos de sacar información acerca del comportamiento de su valor de verdad; para esto listaremos todas las combinaciones posibles en que aparezcan los valores de verdad de las proposiciones que forman tal proposición.

Por ejemplo:   ¬ (¬ p ˄ q )

Tiene 4 posibles combinaciones, a saber:

1. P es verdadera y q verdadera.

2. P es falsa y q verdadera.

3. P verdadera y q falsa.

4. P falsa y q falsa.

En cada uno de estos casos cada combinación determina un valor de verdad para ¬(¬p˄q) (¡claro!, uno de los dos posibles, F o V).

Enseguida ilustraremos una forma de listar las combinaciones de valores de verdad, así como sus consecuencias en el valor de verdad de la proposición total.

                   p  q  ¬p˄q  ¬(¬p˄q)

                   V  V     F           V

                   F  V     F            V

                   V  F     F            V

                   F  F      F           V

 

A tal lista se le llama tabla de verdad de la proposición.

Ahora observemos la siguiente proposición:

      “Pedro es carpintero o no lo es”

Tiene la forma simbólica p˅¬p, donde p simboliza la proposición “Pedro es carpintero”. Su tabla de verdad es:

p

¬p

p˅¬p

V

 F

  V

F

 V

  V

 

Es decir, p˄ ¬p, sea p, siempre es verdadera; su verdad no depende de quien sea p, sino de la forma que tiene la proposición.

Una técnica con la que podremos saber cuándo una proposición es verdadera por su forma, seria:

Escribamos la proposición en la forma simbólica; construyamos su tabla de verdad y si en la última columna de esta solo aparece V, entonces tal proposición es verdadera por su forma.

Definición 1.3.5 Las proposiciones lógicas que son verdaderas por su forma son llamadas tautologías.

Es importante tener en mente las principales formas simbólicas que dan lugar a tautologías. Algunas de estas se podrán hallar en los ejercicios o explícitamente en los siguientes temas.

Observemos las siguientes parejas de proposiciones:

Ni Pedro ni Juan son matemáticos.

Es falso que Pedro o Juan sean matemáticos.

Notamos que dicen lo mismo; sin embargo, quisiéramos tener un método, más seguro que la intuición, para asegurarnos que dos proposiciones dicen los mismo. Para esto notemos que, si dos proposiciones tienen igual contenido, no puede suceder que una de ellas sea falsa y la otra verdadera, así que deben cumplir que ambas son verdaderas o ambas son falsas. Para continuar con esto analicemos la siguiente forma:

                                  (p→q)˄(q→p)

El estudiante comprobara sin lugar a dudas que esta proposición es falsa si p y q no coinciden en sus valores de verdad. Con esto justificamos la siguiente:

Definición 1.3.6 Dos proposiciones p y q son equivalentes (tienen el mismo contenido) si

                                  (p→q)˄(q →p)

Es tautología.

Simbolizaremos que p y q son equivalentes escribiendo: p ≡ q

 

Nota 1   (p→q) ˄ (q→p) se simboliza como:

                                    (p↔q)

Y se lee: “p si y solo si q”

A este tipo de proposiciones se les llama bicondicionales.
 

Nota 2     2 = 1 ↔ “Salinas fue un presidente muy honrado”.

  Es de la forma p→q, donde p: “Don Prospero Torres es dueño de una parcela” y q: “Don Prospero Torres voto por el tricolor” y es equivalente a su contrarreciproca (¬q→¬p) es decir:

“Si Don Prospero Torres no vota por el tricolor entonces no será dueño de una parcela”.

La misma proposición se puede escribir como:

“Es necesario que Don Prospero Torres vote por el tricolor para que sea dueño de una parcela”

Por otro lado, hemos sabido que Don Prospero Torres sigue gritando: “Yo soy campesino y no tengo tierra”, y eso que ha votado por el tricolor, es decir, q es condición necesaria pero no suficiente para que ocurra p.

Así que, en general, una bicondicional, q↔p, suele leerse “p es condición necesaria y suficiente para q” o “q es condición necesaria y suficiente para p” (al fin y al cabo son equivalentes p ↔q y q↔p).

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Ejercicios​:

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1.Karina tendrá una buena educación si pone sus estudios antes que su interés en ser estrella de cine.
Solución:

   p : Karina pone sus estudios antes que su interés en ser estrella de cine.
   q : Karina tendrá una buena educación
   p → q 
 

2. Si Homero aprueba su curso de programación y termina su proyecto de estructura de datos, podrá tomar el curso de lenguajes de programación el próximo semestre.

Solución:

   p : Homero aprueba su curso de programación.
   q : Homero termina su proyecto de estructura de datos.
    r : Homero toma el curso de lenguajes de programación.
   (p∧q)→ r

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