En el lenguaje cotidiano las expresiones adolecen de poder tener distintos significados, cosa que hace interesante a la literatura, pero en matemáticas no podemos darnos ese lujo: no es posible que cada quien le dé un significado distinto a expresiones como “si x es mayor que 3, entonces x es mayor que 2”
 

Proposiciones lógicas y conectivos

Para nuestros propósitos una frase que tenga la propiedad de ser falsa o verdadera y solo una de estas posibilidades se llamara proposición lógica.

Si una proposición lógica es verdadera diremos que su valor de verdad es V y, si es falsa, diremos que su valor de verdad es F.

El cómo asignar un valor de verdad a una frase puede ser muy complicado, y siempre se asignará en un contexto que, al cambiar, puede alterar el valor de verdad de la frase o de plano perder la propiedad de tener un valor de verdad.

La frase ¡Viva México!, al interrogarse de si es verdadera o falsa, intuitivamente, se encontrará que no es ninguna de las dos cosas. Podemos concluir que dicha frase no es proposición lógica, es más, no lo es en cualquier contexto, ya que esta frase no afirma algo de un sujeto.
 

 Ahora veamos las siguientes proposiciones lógicas:

1. 1 + 1 = 2

2. La suma de números enteros es un numero entero.

3. 3 es mayor que 2.

4. 4 es un numero negativo.

5. Está lloviendo ahora en la Plaza Roja de Moscú.
    

Es claro que todas ellas si tienen un valor de verdad; es más, podemos afirmar que las tres primeras son verdaderas y la penúltima es falsa.

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Resumiendo: a), b) y c) tienen valor de verdad V y d) tiene valor de verdad F. ¡Atención!: la proposición e) es una proposición lógica a pesar de no poder decidir su valor de verdad.

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Analicemos las siguientes proposiciones lógicas:

1. 3 y 2 son números enteros.

2. México y Guatemala son países centroamericanos.

3. 3 + 1 = 4 y 2 + 2 = 4

4. ​

Notemos que tienen una forma común:

              ( ……)  y  (……),

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Donde los paréntesis (……) representan proposiciones lógicas. Las proposiciones lógicas a), b) y c) escritas en esta forma quedan:

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1. 3 es un numero entero y 2 es un numero entero.

2. México es país centroamericano y Guatemala es país centroamericano.

3. 3 + 1 = 4 y 2 + 2 = 4
    

Esto nos lleva a la definición:

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Definición 1.2.1 Si una proposición lógica se puede llevar a la forma:

(PROPOSICION)  Y  (PROPOSICION), a tal proposición se le llama conjunción.

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Definición 1.2.2 Cuando una proposición se puede llevar a la forma:

(PROPOSICION) o (PROPOSICION), a dicha proposición se le llamara disyunción.

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Definición 1.2.3 Si una proposición lógica se puede escribir en la forma:

Si (PROPOSICION), entonces (PROPOSICION), a tal proposición se le llamara implicación o condicional.

​

Es conveniente saber que la proposición condicional si p entonces q, también se puede escribir como:

q si p,

p implica q,

p solo si q,

p es suficiente para q,

q es necesaria para q,

q siempre que p.

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Definición 1.2.4 Llamaremos negación a la proposición que tenga la forma:

   Es falso que (PROPOSICION)

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Ejemplos:

1. Si está lloviendo me mojare (condicional)

2. Juan es electrónico y Pedro también (conjunción)

3. El día de mañana será lluvioso o caluroso (disyunción)

4. 3 o 2 son mayores que 1 (disyunción)

5. No es posible que exista transporte barato y cómodo (negación)

6. Solo estudiando aprobare el curso (implicación)
    

En las proposiciones del tipo de disyunción, conjunción e implicación, participan dos proposiciones. En las disyunciones y conjunciones es indistinto donde se coloquen tales proposiciones; sin embargo, en la implicación no. Así:

                            “Si llueve me mojo”

Cambia radicalmente si se transforma en

                            “Si me mojo, entonces llueve”.

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Para distinguir el diferente papel que juegan las dos proposiciones que forman la implicación, tenemos:

​

Definición 1.2.5 En una implicación llamaremos antecedente a la proposición colocada entre “si” y “entonces” y llamaremos consecuente a la proposición solo cada después de “entonces”.

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Veamos las proposiciones:

1. Es condición suficiente para que Avelino vuele, ser poeta.

2. Jaime podrá adelgazar si deja de comer.
    

Las proposiciones 1 y 2 son condicionales ya que se pueden escribir, teniendo exactamente el mismo significado, de forma:
 

1. Si Avelino es poeta, entonces Avelino vuela.

2. Si Jaime deja de comer, entonces Jaime podrá adelgazar.
    

Ya escritas así uno podrá distinguir claramente el antecedente y el consecuente.

Finalmente, a las siguientes partículas: y, o, si …. Entonces …, es falso que, se les agrupa con el nombre de conectivos lógicos.

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EJERCICIOS:

 Analizar las siguientes expresiones
 

a) 7 + 5 = 20

b) ¿Eres un estudiante de matemática?

c) X + 5 = 8

d) El día esta frío.

e) ¡cierra la puerta!

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SOLUCION:

a) 7 + 5 = 20, es una expresión cuyo valor de verdad es falsa. Es una proposición.

b) ¿Eres un estudiante de matemática?, es una pregunta que se hace, carece de valor de verdad, es decir, no se puede afirmar si es verdadero o falso, no es una proposición.

c) X + 5 = 8, es un enunciado abierto o función proposicional porque tiene variable

d) El día esta frío, es una proposición que puede ser verdadera o falsa

e) ¡cierra la puerta!, es una orden. No es una proposición.